Что означает выражения "на ладан дышит"?

На последнем издыхании.

Когда что-то или кто-то находится в таком критическом состоянии, что можно сказать "еле-еле душа в теле".
Обычно говорят о маломощном человеке, он слаб , вид болезненный, и в скором времени может "Богу душу отдать".
Вот уже сколько аналогичных выражений я привела в пример.

Что же касается ладана?

Это масло, которое изготавливается из сока деревьев, смолы, напоминает янтарь.

Ладан, это вещество природного происхождения-смола редкого дерева carterii Boswellia или Boswellia sacara. Это дерево произрастает в Восточной Африке (Сомали), Аравии, Индии. Прихотливое деревце растет на высоте около 2000 метров при определенных условиях, влажности и температуре.

Это масло или благовоние используют в церковных службах, при проведении всевозможных ритуалов. Одним из таких ритуалов является прощание с умирающим, или уже умершим человеком, в это время ладан кадят( жгут благовоние, встряхивая кадило)

Отсюда и пошло это выражение, означающее, что конец уже близко.
Его используют как в прямом, так и в переносном смысле. Применим к любому предмету, вещи, срок службы которой близится к концу. А так же можно сказать, что отношения между людьми уже "на ладан дышат" - разрыв уже близко.

Советую ознакомиться со следующими статьями, и расширить свой кругозор:

• Что означает это выражение: "Бить в набат"?
• Значение выражения "лезть на рожон"